Edgar Szevikjan 2001-ben született Moszkvában. Felmenői örmények, ő maga örmény-orosz kettős állampolgár.

Ötéves korában a Lokomotiv Moszkvában kezdett el futballozni, ahonnan 16 évesen a Levante együtteséhez került. A spanyol klub második csapatában két év alatt 44-szer lépett pályára, ezeken a találkozókon négyszer volt eredményes. Spanyolországban az első csapatban is bemutatkozhatott, majd a Nyizsnyij Novgorodhoz igazolt. Oroszországban 40 mérkőzésen kapott szerepet, nyolc gólt lőtt és egy gólpasszt jegyzett.

Szevikjan végigjárta az orosz utánpótlás-válogatottakat, majd az örmény nemzeti csapat mellett döntött. Válogatott színekben 2023 őszén mutatkozott be, azóta négyszer húzhatta magára a címeres mezt.

A 2023/24-es szezonban tagja volt az UEFA Európa Konferencia Liga csoportkörét és rájátszását megjárt, valamint a 35. bajnoki címet szerzett csapatnak.