Bíró Blanka szülővárosának csapatában, a Váci NKSE-ben kezdett kézilabdázni, és ott is lett élvonalbeli játékos, valamint többször szerepelhetett az EHF-kupában és a Kupagyőztesek Európa-kupájában is. A váci évei alatt sikerült bekerülnie a felnőtt válogatottba is, első világversenye a 2014-es hazai rendezésű Európa-bajnokság volt, Blanka pedig azóta a nemzeti csapat oszlopos tagjává nőtte ki magát.

2016-ban igazolt az Ferencvároshoz, ahol első idényében rögtön a Bajnokok Ligája legjobb fiatal játékosának választották. 2017 április első hétvégéjén a kecskeméti Magyar Kupa döntőjében a Ferencváros óriási csatában legyőzte a Győri Audi ETO KC csapatát, Bíró pedig kiérdemelte a torna legjobb kapusa díjat.

A 2020-2021-es szezonban bajnoki címet szerzett a csapattal, 2022-ben pedig Magyar Kupa-győzelmet ünnepelhetett. A 2023 tavaszán ismét kupagyőztes lett és BL-döntőt játszhatott.

Eddigi eredményei:
Magyar Kupa-győztes: 2017, 2022, 2023, 2024
Magyar bajnoki ezüstérmes: 2017, 2018, 2019, 2022
Magyar bajnok: 2020, 2024
Bajnokok Ligája-döntős: 2023
A Bajnokok Ligája legjobb fiatal játékosa: 2016/2017
Az év női kézilabdázója: 2023