Borbély Ádám szülővárosában, Debrecenben kezdett kézilabdázni, majd fiatalon Veszprémbe igazolt. Szerepelt kölcsönben Balatonfüreden és Tatabányán is, a bakonyi sztárcsapatban először a 2014-es bajnoki döntőben jutott jelentős szerephez, és végül bajnoki címet is ünnepelhetett. 2017 nyarán két évre a lengyel Wisla Plockhoz került kölcsönbe, és nem egyszer csapata legjobbjai közé tartozott a Bajnokok Ligájában is. Ezt követően megfordult újra a Tatabánya, majd a Veszprémi KKFT együttesében, és 2022 nyarán lett a Ferencváros játékosa. Csapatunkkal a 2022/23-as évadban bajnoki negyedik lett, az Európa-ligában pedig a nyolcaddöntőig menetelt. A 2023/24-es idényben részese volt az újbóli negyedik helynek, valamint az Európa-kupa elődöntő elérésének.

Az utánpótlás-válogatottaknak meghatározó tagja volt, a felnőtt nemzeti együttesbe először Ljubomir Vranjes hívta meg 2017-ben, utána pedig részt vett a 2018-as Európa-bajnokságon. Tagja volt a 2021-ben világbajnoki ötödik helyezett gárdának is. 

EREDMÉNYEI, SIKEREI:

Magyar bajnok: 2013, 2014, 2017
Magyar bajnoki-bronzérmes: 2015
Magyar Kupa-győztes: 2013, 2014, 2017
Magyar Kupa-ezüstérmes: 2022
Bajnokok Ligája-bronzérmes: 2017
Európa-kupa elődöntős: 2024
Világbajnoki 5.: 2021