Turbucz Martin 1994 október 18-án született Budapesten. A 190 centiméter magas, 85 kilogrammos csatár a Budapest Starsnál kezdte pályafutását 2008-ban, majd egy szezon után az Újpesti Jégkorong Akadémia játékosa lett, ahol szerepelt az U18-as, az U20-as és az U23-as együttesben is. 2012/13-ban az Újpesti Vasassal a magyar és a szlovák juniorbajnokságban is játszott, utóbbiban a második vonalban 22 meccsen 35 pontig jutott. Ebben az évben az Újpest felnőttcsapatában is bemutatkozhatott az Erste Liga elődjében, a MOL Ligában, 8 meccsen 1+2 pontot szerzett. Ezután párhuzamosan szerepelt az Újpest junior- és felnőttcsapatában, 2014/15-ben már a MOL Ligás együttes játékosaként. Ebben az idényben 33 meccsen 10 pontot szerzett a felnőtteknél, és a magyar válogatottban is bemutatkozhatott, három felkészülési mérkőzésen.

Ezután még három idényt húzott le lila-fehérben, majd 2018-ban az Erste Ligás csapatot először indító, saját nevelésű fiatalokra építő Schiller-Vasas HC játékosa lett, amellyel sorrendben 22, 25 és 26 pontig jutott az Erste Liga alapszakaszában. Utóbbi idényben a Vasas hétmeccses bravúros negyeddöntője során a rájátszásban is szerzett 2+4 pontot, valamint a csapatok közötti megállapodás értelmében az akkor még szlovák Extraligás DVTK Jegesmedvékben is jutott neki 7 meccs kölcsönben. A 2018/19-es idényben csapatkapitányként vezette a magyar egyetemi válogatottat az Universiadén. 2021/22-ben az UNI Győr ETO HC néven továbbversenyző Vasas játékosaként 31 alapszakasz-meccsen 19 pontja volt, a playoffban egy gólt szerzett.

A 2022/23-as idényben a győri Erste Ligás csapat megszűnését követően az Andersen Ligába, vagyis a másodosztályba igazolt, a Goodwill Pharma Szegedhez. Az idény során kilenc Andersen Liga-mérkőzésen nem kevesebb, mint 34 pontig jutott. Turbucz januárban kettős igazolással érkezett a Fradihoz, ami azt jelentette, hogy a szegediek játékosa is maradt, de a megállapodás értelmében két csapata mérkőzéseinek időpontbeli ütközése esetén az FTC-Telekom élvezett elsőbbséget. Az alapszakaszban hozta a pont/meccs átlagot, kilenc meccsen két góllal és hét asszisztal járult hozzá a közvetlen rájátszásba kerülés kiharcolásához a szoros hajrában. A rájátszásban 20 meccsen 5+5 ponttal segítette a magyar bajnoki címig és Erste Liga-ezüstéremig jutó Ferencvárost. Legemlékezetesebb gólja a DVTK Jegesmedvék elleni negyeddöntő hatodik mérkőzésének hosszabbításában született, amellyel lezárta a párharcot, és továbbjuttatta csapatát a bajnoki döntőnek minősülő Erste Liga-elődöntőbe.